Du løser uligheder som ligninger: gør det samme på begge sider. Én regel er ny: ganger eller dividerer du med et negativt tal, vender ulighedstegnet. Eksempel: −3 · x < 12 giver x > −4, fordi 12 : (−3) = −4, og < bliver til >.
Hvad betyder <, >, ≤ og ≥? (ulighedstegn med x = 6 som eksempel)
- < betyder mindre end; selve tallet er ikke med.
- > betyder større end; selve tallet er ikke med.
- ≤ betyder mindre end eller lig med (højst); selve tallet er med.
- ≥ betyder større end eller lig med (mindst); selve tallet er med.
Tabellen viser de fire ulighedstegn med x = 6 som grænse.
| Tegn | Læses | Eksempel | Passer | Passer ikke | Er 6 med? |
|---|---|---|---|---|---|
| < | Læses: mindre end | Eksempel: x < 6 | Passer: 5, 0, −2 | Passer ikke: 6, 7 | Er 6 med? nej |
| > | Læses: større end | Eksempel: x > 6 | Passer: 7, 10 | Passer ikke: 6, 5 | Er 6 med? nej |
| ≤ | Læses: mindre end eller lig med (højst) | Eksempel: x ≤ 6 | Passer: 6, 5 | Passer ikke: 7, 8 | Er 6 med? ja |
| ≥ | Læses: større end eller lig med (mindst) | Eksempel: x ≥ 6 | Passer: 6, 7 | Passer ikke: 5, 0 | Er 6 med? ja |
Hvordan løser man uligheder trin for trin? (eksempel: x + 8 ≤ 3)
Du løser en ulighed ved at gøre det samme på begge sider, indtil x står alene; tegnet bliver stående, så længe du lægger til, trækker fra eller ganger og dividerer med et positivt tal. Ministeriets regel for ligninger lyder: «Man må addere, subtrahere, multiplicere eller dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet (man må dog ikke dividere med 0).» (Matematiske formler og fagord, s. 24). Ved uligheder gælder det samme, med én ekstra regel: ganger eller dividerer du med et negativt tal, vender tegnet. Her er · gange og : division, og 3x skrives 3 · x.
- Ophæv parenteserne, og regn sammen på hver side for sig.
- Saml x-leddene på den ene side: læg det samme x-led til eller træk det fra på begge sider. Tegnet bliver stående.
- Saml tallene på den anden side: læg til eller træk fra på begge sider. Tegnet bliver stående.
- Få x alene: dividér begge sider med tallet foran x. Er tallet positivt, bliver tegnet stående. Er det negativt, vender tegnet.
- Tjek med tre tal: grænsen, et tal inde i løsningen og et tal uden for den.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| x + 8 ≤ 3 | Udgangspunkt |
| x + 8 − 8 ≤ 3 − 8 | Træk 8 fra på begge sider (tegnet bliver stående) |
| x ≤ −5 | Løsningen: −5 og alle tal under −5 |
| Tjek med tre tal: x = −5 (grænsen): (−5) + 8 = 3, og 3 ≤ 3 er sandt. x = −6 (inde): (−6) + 8 = 2, og 2 ≤ 3 er sandt. x = 0 (ude): 0 + 8 = 8, og 8 ≤ 3 er falsk. | Tallet inde skal give sandt og tallet ude falsk. Grænsen giver sandt ved ≤ og ≥ og falsk ved < og >. |
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 2 · x − 5 > 9 | Udgangspunkt |
| 2 · x − 5 + 5 > 9 + 5 | Læg 5 til på begge sider |
| 2 · x > 14 | Regn sammen |
| 2 · x : 2 > 14 : 2 | Dividér begge sider med 2 (positivt tal, tegnet bliver stående) |
| x > 7 | Løsningen: alle tal over 7, men ikke 7 |
| Tjek med tre tal: x = 7 (grænsen): 2 · 7 − 5 = 9, og 9 > 9 er falsk. x = 8 (inde): 2 · 8 − 5 = 11, og 11 > 9 er sandt. x = 0 (ude): 2 · 0 − 5 = −5, og −5 > 9 er falsk. | Tallet inde skal give sandt og tallet ude falsk. Grænsen giver sandt ved ≤ og ≥ og falsk ved < og >. |
Hvornår skal ulighedstegnet vendes? (gange eller dividere med −2)
Ulighedstegnet skal vendes (< bliver til >, ≥ bliver til ≤), når du ganger eller dividerer begge sider med et negativt tal. Lægger du til eller trækker fra, vender tegnet aldrig, og det gør det heller ikke ved gange eller division med et positivt tal. Et minus foran x, som i 5 − 2 · x, er et negativt tal foran x (−2), så her skal du vende, når du dividerer.
Hvorfor? Når du ganger med −1, spejles tallene i 0: 2 bliver til −2, og 5 bliver til −5. 5 lå længst til højre, men −5 ligger længst til venstre, så det største tal er blevet det mindste. 2 < 5 er sandt, men −2 < −5 er falsk; det sande er −2 > −5. Derfor skal tegnet vende.
| Trin | Udsagn | Er det sandt? |
|---|---|---|
| Udgangspunkt | Udsagn: 2 < 5 | Sandt? sandt |
| Begge sider ganget med −1, tegnet ikke vendt | Udsagn: −2 < −5 | Sandt? falsk |
| Begge sider ganget med −1, tegnet vendt | Udsagn: −2 > −5 | Sandt? sandt |
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 5 − 2 · x < 11 | Udgangspunkt |
| 5 − 2 · x − 5 < 11 − 5 | Træk 5 fra på begge sider |
| −2 · x < 6 | Regn sammen |
| −2 · x : (−2) > 6 : (−2) | Dividér begge sider med −2 — negativt tal, så < bliver til > |
| x > −3 | Løsningen: alle tal over −3, men ikke −3 |
| Tjek med tre tal: x = −3 (grænsen): 5 − 2 · (−3) = 11, og 11 < 11 er falsk. x = −2 (inde): 5 − 2 · (−2) = 9, og 9 < 11 er sandt. x = −5 (ude): 5 − 2 · (−5) = 15, og 15 < 11 er falsk. | Tallet inde skal give sandt og tallet ude falsk. Grænsen giver sandt ved ≤ og ≥ og falsk ved < og >. |
Hvordan løser man uligheder med x på begge sider? (3 · x + 4 ≥ 7 · x − 8)
Saml x-leddene på én side som ved ligninger; får x et negativt tal foran, dividerer du med et negativt tal, og tegnet vender. Metoden for x-led er den samme som med lighedstegn (se x på begge sider i ligninger), men du skal holde øje med tegnet til sidst.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 3 · x + 4 ≥ 7 · x − 8 | Udgangspunkt |
| 3 · x + 4 − 7 · x ≥ 7 · x − 8 − 7 · x | Træk 7 · x fra på begge sider |
| −4 · x + 4 ≥ −8 | Regn sammen |
| −4 · x + 4 − 4 ≥ −8 − 4 | Træk 4 fra på begge sider |
| −4 · x ≥ −12 | Regn sammen |
| −4 · x : (−4) ≤ −12 : (−4) | Dividér begge sider med −4 — negativt tal, så ≥ bliver til ≤ |
| x ≤ 3 | Løsningen: 3 og alle tal under 3 |
| Tjek med tre tal: x = 3 (grænsen): 3 · 3 + 4 = 13 og 7 · 3 − 8 = 13, så 13 ≥ 13 er sandt. x = 2 (inde): 3 · 2 + 4 = 10 og 7 · 2 − 8 = 6, så 10 ≥ 6 er sandt. x = 5 (ude): 3 · 5 + 4 = 19 og 7 · 5 − 8 = 27, så 19 ≥ 27 er falsk. | Tallet inde skal give sandt og tallet ude falsk. Grænsen giver sandt ved ≤ og ≥ og falsk ved < og >. |
Du kan undgå at vende tegnet ved at trække det mindste x-led (her 3 · x) fra på begge sider, så x får et positivt tal foran. Samme ulighed igen, uden vending:
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 3 · x + 4 ≥ 7 · x − 8 | Udgangspunkt |
| 3 · x + 4 − 3 · x ≥ 7 · x − 8 − 3 · x | Træk 3 · x (det mindste x-led) fra på begge sider |
| 4 ≥ 4 · x − 8 | Regn sammen |
| 4 + 8 ≥ 4 · x − 8 + 8 | Læg 8 til på begge sider |
| 12 ≥ 4 · x | Regn sammen |
| 12 : 4 ≥ 4 · x : 4 | Dividér begge sider med 4 (positivt tal, tegnet bliver stående) |
| 3 ≥ x | 3 ≥ x læses som x ≤ 3 — samme løsning som ovenfor, uden at vende tegnet |
| Tjek med tre tal: x = 3 (grænsen): 3 · 3 + 4 = 13 og 7 · 3 − 8 = 13, så 13 ≥ 13 er sandt. x = 2 (inde): 3 · 2 + 4 = 10 og 7 · 2 − 8 = 6, så 10 ≥ 6 er sandt. x = 5 (ude): 3 · 5 + 4 = 19 og 7 · 5 − 8 = 27, så 19 ≥ 27 er falsk. | Tallet inde skal give sandt og tallet ude falsk. Grænsen giver sandt ved ≤ og ≥ og falsk ved < og >. |
Hvordan aflæser man x > 7 og x ≤ −5 på en tallinje?
Løsningen af x > 7 er alle tal til højre for 7 på tallinjen, men ikke 7 selv; løsningen af x ≤ −5 er alle tal til venstre for −5, og −5 er med. Er grænsen ikke med (< og >), er enden åben; er den med (≤ og ≥), er enden lukket.
| Løsning (og ulighed den kommer fra) | Hvor på tallinjen | Er grænsen med? | Tre tal der passer | Tre tal der ikke passer |
|---|---|---|---|---|
| x ≤ −5 (fra x + 8 ≤ 3) | Hvor: alle tal til venstre for −5, og −5 selv | Er grænsen med? ja (lukket ende) | Passer: −5, −6, −10 | Passer ikke: −4, 0, 3 |
| x > 7 (fra 2 · x − 5 > 9) | Hvor: alle tal til højre for 7 | Er grænsen med? nej (åben ende) | Passer: 8, 9, 20 | Passer ikke: 7, 6, 0 |
| x > −3 (fra 5 − 2 · x < 11) | Hvor: alle tal til højre for −3 | Er grænsen med? nej (åben ende) | Passer: −2, 0, 5 | Passer ikke: −3, −4, −10 |
| x ≤ 3 (fra 3 · x + 4 ≥ 7 · x − 8) | Hvor: alle tal til venstre for 3, og 3 selv | Er grænsen med? ja (lukket ende) | Passer: 3, 2, −1 | Passer ikke: 4, 5, 10 |
Hvordan tjekker man svaret på uligheder med tre tal?
Tjek en ulighed med tre tal: selve grænsen, et tal på den side, der skal passe, og et tal på den anden side. Sæt hvert tal ind i den oprindelige ulighed, ikke i en mellemregning.
- Grænsen selv: ved < og > skal den give falsk, ved ≤ og ≥ skal den give sandt.
- Et tal inde i løsningen: det skal give sandt.
- Et tal uden for løsningen: det skal give falsk.
Eksempel: 2 · x − 5 > 9 har løsningen x > 7. Grænsen x = 7 giver 2 · 7 − 5 = 9, og 9 > 9 er falsk, som den skal være ved >. Tallet x = 8 giver 11 > 9, sandt. Tallet x = 0 giver −5 > 9, falsk.
Ligningsløseren løser ikke uligheder, men den finder grænsen, fordi den løser den tilhørende grænseligning: skriv 5 − 2 · x = 11 ind, og aflæs x = −3. Tegnet afgør du selv ud fra reglen om at vende. Find grænsen i ligningsløseren.
Hvilke 3 fejl skal man passe på med uligheder?
Tre fejl går igen: at glemme at vende tegnet ved et negativt tal, at vende det ved at lægge til eller trække fra, og at skrive > i stedet for ≥. Tabellen viser hver fejl med den forkerte linje og rettelsen.
| Forkert linje | Hvorfor det er galt | Rigtigt |
|---|---|---|
| Forkert: −3 · x < 12 giver x < −4 | Hvorfor galt: Tegnet er ikke vendt, selv om der er divideret med −3. Prøv x = −5. Så er −3 · (−5) = 15, og 15 < 12 er falsk — men x < −4 siger, at −5 passer. | Rigtigt: x > −4. Tjek x = −3. Så er −3 · (−3) = 9, og 9 < 12 er sandt, og −3 > −4 er også sandt. |
| Forkert: x − 6 > −2 giver x < 4 | Hvorfor galt: Tegnet er vendt uden grund. Når du lægger 6 til på begge sider, ændrer tegnet sig aldrig. Prøv x = 10. Så er 10 − 6 = 4, og 4 > −2 er sandt — men x < 4 siger, at 10 ikke passer. | Rigtigt: x > 4. Tegnet vender kun ved gange eller division med et negativt tal. |
| Forkert: 4 · x − 1 ≥ 11 giver x > 3 | Hvorfor galt: Grænsen er faldet ud, fordi ≥ er blevet til >. Prøv x = 3. Så er 4 · 3 − 1 = 11, og 11 ≥ 11 er sandt — men x > 3 siger, at 3 ikke passer. | Rigtigt: x ≥ 3. Tjek altid selve grænsen. |
Hvor finder jeg opgaver med uligheder og facit?
Tavletids hæfte «Ligninger 9. klasse – uligheder» har 4 ark med uligheder og facit bagerst; det er skrevet til 9. klasse, og der findes endnu ikke et til 7. eller 8. klasse. Hæftet er på 10 sider, og de fire ark er:
- plus og minus
- gange og division med positive tal
- division med negative tal, hvor tegnet vender
- et blandet ark
Øv det på papir: uligheder – 9. klasse
4 ark med facit fra Tavletid. Gratis PDF, klar til print.
Flere opgaver med facit, og en oversigt over alle hæfter om ligninger, finder du på Opgaver med ligninger – med facit.
Ofte stillede spørgsmål om uligheder
Hvad er forskellen på ligninger og uligheder?
Ligninger har et lighedstegn (=) og som regel én løsning; uligheder har <, >, ≤ eller ≥ og typisk mange løsninger. 2 · x = 14 har kun løsningen x = 7, mens 2 · x > 14 passer for alle tal over 7. Reglen for ligninger står under Grundreglen.
Hvad er forskellen på < og ≤?
< tæller ikke grænsen med; ≤ gør. Ved x < 6 passer 5, men ikke 6; ved x ≤ 6 passer både 5 og 6.
Er <=> (⇔) et ulighedstegn?
Nej. <=> (⇔) er ikke et ulighedstegn, og siden her bruger det ikke. Ministeriets eksempel på ligningsløsning skriver et lighedstegn i hver linje (Matematiske formler og fagord, s. 24), og det gør siden her også, mens Webmatematik bruger ⇔ på sin Mat C-side om uligheder.
Står uligheder i Fælles Mål?
Ja: efter 9. klassetrin står «Eleven kan opstille og løse ligninger og enkle uligheder.» under Ligninger, fase 2 (Fælles Mål, matematik, s. 8). Det er et færdighedsmål, som har været vejledende siden 1/1-2025. Udkastet til nye fagplaner fra juni 2026, som skal gælde fra skoleåret 2027/28, nævner ikke uligheder (Fagplan for matematik, juni 2026); ministeriet venter at sende udkastet i offentlig høring i foråret 2027 (Udkast til folkeskolens fagplaner, uvm.dk).
Hvilke kilder bygger siden på?
- Børne- og Undervisningsministeriet: Matematiske formler og fagord, 2. udgave 2017 (regneregel for ligninger, s. 24).
- Børne- og Undervisningsministeriet: Fælles Mål, matematik (ligninger efter 9. klassetrin, s. 8) og Fagplan for matematik, udkast juni 2026; høringstidspunktet står på Udkast til folkeskolens fagplaner.
- Wikipedia: Ulighed (matematik) (ulighedstegnene og reglen om at vende tegnet; CC BY-SA 4.0).
- Webmatematik (Matematikcenter): Uligheder (Mat C).
- Tavletid: Ligninger 9. klasse – uligheder.
Sidst tjekket: 25. oktober 2026 (Fælles Mål, Matematiske formler og fagord og Wikipedia). Alle eksempler er regnet igennem linje for linje og kontrolleret ved at sætte tal ind. Skrevet til Ligninger.dk.