Du løser ligninger ved at gøre det samme på begge sider af lighedstegnet, indtil x står alene – og derefter tjekke svaret ved at sætte det ind. Her er metoden i fem trin og gennemregnede eksempler med x på begge sider, parenteser og brøker, med én mellemregning pr. linje.
Øv det på papir: ligninger med x på begge sider – 8. klasse (kan bruges i 9.)
4 ark med facit fra Tavletid. Gratis PDF, klar til print.
Vil du have dine egne opgaver regnet igennem? En lommeregner eller regnemaskine giver ofte kun svaret, mens ligningsløseren med mellemregninger viser hvert trin.
Hvilken regel gælder, når man skal løse ligninger?
Ligningsløsning bygger på én regel: Man må gøre det samme på begge sider af lighedstegnet – lægge til, trække fra, gange eller dividere med samme tal – men aldrig dividere med 0. Undervisningsministeriet formulerer det sådan: «Man må addere, subtrahere, multiplicere eller dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet (man må dog ikke dividere med 0).» (Matematiske formler og fagord, s. 24)
Tænk på en vægt i ligevægt: tager du 4 fra den ene skål, skal du tage 4 fra den anden, ellers tipper vægten, og ligningen passer ikke længere. Samme billede bruger Webmatematik til at forklare metoden.
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| x − 2 = 3 | Udgangspunkt |
| x − 2 + 2 = 3 + 2 | Læg 2 til på hver side |
| x = 5 | Løsningen |
| Gør prøve: Venstre side: 5 − 2 = 3. Højre side: 3. Resultatet er 3 på hver side. | Løsningen er rigtig, når de to sider er lige store |
Hvad er en lineær ligning?
En lineær ligning er en ligning, hvor x kun står i første potens – altså som x og ikke som x². Den kaldes også en førstegradsligning, og alle ligninger på denne side er lineære ligninger. I 3 · x + 4 = 19 er x den ubekendte (bogstavet kaldes også en variabel), og tallet foran x, her 3, kaldes koefficienten. Du kan løse ligninger af den type ved at gøre det samme på hver side af lighedstegnet, indtil x står alene.
Hvordan løser man lineære ligninger trin for trin?
Fem trin dækker løsning af ligninger med én ubekendt (én variabel, x) i 7.–9. klasse:
- Ophæv parenteserne, og står der brøker, så gang begge sider med nævneren (ved flere brøker med en fællesnævner). Regn sammen på hver side for sig.
- Saml x‑leddene på den ene side: læg til eller træk det samme x‑led fra på begge sider af lighedstegnet.
- Saml tallene på den anden side: læg til eller træk fra på hver side.
- Få x alene: dividér begge sider med tallet foran x (koefficienten).
- Gør prøve: sæt løsningen ind i den oprindelige ligning, og regn ud, om venstre og højre side bliver lige store.
Skriv hver mellemregning på sin egen linje, og skriv ved siden af, hvad du gør på hver side af lighedstegnet. Så kan du finde fejlen, hvis svaret ikke passer.
Hvordan løser man ligninger med én ubekendt, når x står på den ene side?
Løs ligninger med én ubekendt ved først at fjerne det tal, der er lagt til eller trukket fra x, og derefter dividere med koefficienten, altså tallet foran x, så variablen x står alene i ligningen. Begge dele gør du på begge sider af lighedstegnet.
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| x − 7 = 12 | Udgangspunkt |
| x − 7 + 7 = 12 + 7 | Læg 7 til på hver side |
| x = 19 | Løsningen |
| Gør prøve: Indsat i den oprindelige ligning: 19 − 7 = 12, og højre side er 12. Det passer. | Regnet rigtigt: resultaterne er ens |
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| 3 · x + 4 = 19 | Udgangspunkt |
| 3 · x + 4 − 4 = 19 − 4 | Træk 4 fra på begge sider af lighedstegnet |
| 3 · x = 15 | Regn sammen på hver side |
| 3 · x : 3 = 15 : 3 | Dividér hver side med koefficienten 3 |
| x = 5 | Løsningen |
| Gør prøve: Venstre side: 3 · 5 + 4 = 15 + 4 = 19. Højre side: 19. Resultatet er 19 på hver side. | Løsningen er rigtig, når de to sider er lige store |
Hvordan løser man ligninger med x på begge sider af lighedstegnet?
Træk det mindste x‑led fra på begge sider, så x kun står på den ene side af lighedstegnet, og løs derefter ligningen som en ligning med x på den ene side. Trækker du det mindste x‑led fra, bliver koefficienten (tallet foran x) positiv.
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| 5 · x + 2 = 2 · x + 11 | Udgangspunkt |
| 5 · x + 2 − 2 · x = 2 · x + 11 − 2 · x | Træk 2 · x fra på begge sider af lighedstegnet (det mindste x‑led) |
| 3 · x + 2 = 11 | Regn sammen på hver side |
| 3 · x + 2 − 2 = 11 − 2 | Træk 2 fra på hver side |
| 3 · x = 9 | Regn sammen på hver side |
| 3 · x : 3 = 9 : 3 | Dividér hver side med 3 |
| x = 3 | Løsningen |
| Gør prøve: Venstre side: 5 · 3 + 2 = 15 + 2 = 17. Højre side: 2 · 3 + 11 = 6 + 11 = 17. Resultatet er 17 på hver side. | Regnet rigtigt: resultaterne er ens |
I næste eksempel står x med et større tal til højre. Det er helt i orden, at x ender på højre side, og at løsningen bliver negativ.
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| 4 · x − 3 = 7 · x + 12 | Udgangspunkt |
| 4 · x − 3 − 4 · x = 7 · x + 12 − 4 · x | Træk 4 · x fra på hver side (det mindste x‑led) |
| −3 = 3 · x + 12 | Regn sammen på hver side |
| −3 − 12 = 3 · x + 12 − 12 | Træk 12 fra på hver side |
| −15 = 3 · x | Regn sammen på hver side |
| −15 : 3 = 3 · x : 3 | Dividér hver side med 3 |
| −5 = x | Det vil sige x = −5 |
| Gør prøve: Venstre side: 4 · (−5) − 3 = −20 − 3 = −23. Højre side: 7 · (−5) + 12 = −35 + 12 = −23. Resultatet er −23 på hver side. | Løsningen er rigtig, når de to sider er lige store |
Hvad hvis x forsvinder, når man samler led på hver side?
Så er der enten ingen løsning eller alle tal som løsning – alt efter om det, der er tilbage, er falsk eller sandt. Variablen x er forsvundet, så du kan ikke længere løse ligningen til ét tal. Trækker du 2 · x fra på begge sider af 2 · x + 3 = 2 · x + 5, står der 3 = 5, og det er aldrig sandt – ingen løsning. Trækker du 2 · x fra på hver side af 2 · x + 3 = 2 · x + 3, står der 3 = 3, og det er altid sandt – alle tal er løsninger.
Hvordan løser man ligninger med parenteser?
Gang tallet foran parentesen ind på hvert led inde i parentesen, regn sammen, og løs derefter ligningen som sædvanlig. 3(x + 4) betyder 3 · (x + 4), så 3 skal ganges med både x og 4.
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| 3 · (x + 4) = 21 | Udgangspunkt (3(x + 4) betyder 3 · (x + 4)) |
| 3 · x + 3 · 4 = 21 | Gang 3 ind på hvert led i parentesen |
| 3 · x + 12 = 21 | Regn sammen |
| 3 · x + 12 − 12 = 21 − 12 | Træk 12 fra på hver side |
| 3 · x = 9 | Regn sammen |
| 3 · x : 3 = 9 : 3 | Dividér begge sider med 3 |
| x = 3 | Løsningen |
| Gør prøve: Indsat i den oprindelige ligning: 3 · (3 + 4) = 3 · 7 = 21, og højre side er 21. Det passer. | Regnet rigtigt: resultaterne er ens |
Står der minus foran parentesen, skifter alle led inde i parentesen fortegn:
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| 20 − (x + 3) = 12 | Udgangspunkt |
| 20 − x − 3 = 12 | Minus foran parentesen: begge led i parentesen skifter fortegn |
| 17 − x = 12 | Regn sammen |
| 17 − x + x = 12 + x | Læg x til på hver side, så x ikke står med minus |
| 17 = 12 + x | Regn sammen |
| 17 − 12 = 12 + x − 12 | Træk 12 fra på hver side |
| 5 = x | Det vil sige x = 5 |
| Gør prøve: Venstre side: 20 − (5 + 3) = 20 − 8 = 12. Højre side: 12. Resultatet er 12 på hver side. | Løsningen er rigtig, når de to sider er lige store |
Står der parenteser på hver side af lighedstegnet, ganger du ind i begge og løser bagefter som en ligning med x på begge sider:
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| 2 · (x + 5) = 4 · (x − 1) | Udgangspunkt |
| 2 · x + 10 = 4 · x − 4 | Gang ind i begge parenteser |
| 2 · x + 10 − 2 · x = 4 · x − 4 − 2 · x | Træk 2 · x fra på begge sider af lighedstegnet |
| 10 = 2 · x − 4 | Regn sammen |
| 10 + 4 = 2 · x − 4 + 4 | Læg 4 til på hver side |
| 14 = 2 · x | Regn sammen |
| 14 : 2 = 2 · x : 2 | Dividér hver side med 2 |
| 7 = x | Det vil sige x = 7 |
| Gør prøve: Venstre side: 2 · (7 + 5) = 2 · 12 = 24. Højre side: 4 · (7 − 1) = 4 · 6 = 24. Resultatet er 24 på hver side. | Regnet rigtigt: resultaterne er ens |
Øv det på papir: ligninger med parenteser – 8. klasse (kan bruges i 7.)
4 ark med facit fra Tavletid. Gratis PDF, klar til print.
Hvordan løser man ligninger med brøker?
Få brøken væk ved at gange begge sider med nævneren – enten med det samme eller først når brøken står alene på sin side – og løs derefter ligningen som sædvanlig. Står der flere brøker, ganger du med et tal, som alle nævnere går op i (en fællesnævner).
x/4 læses «x delt med 4». (x + 6)/3 betyder, at hele x + 6 deles med 3 – parentesen er vigtig.
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| x/4 + 2 = 5 | Udgangspunkt |
| x/4 + 2 − 2 = 5 − 2 | Træk 2 fra på hver side |
| x/4 = 3 | Regn sammen |
| x/4 · 4 = 3 · 4 | Gang begge sider med 4, så brøken forsvinder |
| x = 12 | Løsningen |
| Gør prøve: Indsat i den oprindelige ligning: 12/4 + 2 = 3 + 2 = 5, og højre side er 5. Det passer. | Løsningen er rigtig, når de to sider er lige store |
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| (x + 6)/3 = 5 | Udgangspunkt |
| (x + 6)/3 · 3 = 5 · 3 | Gang begge sider med 3 |
| x + 6 = 15 | Brøken er væk |
| x + 6 − 6 = 15 − 6 | Træk 6 fra på hver side |
| x = 9 | Løsningen |
| Gør prøve: Indsat i den oprindelige ligning: (9 + 6)/3 = 15/3 = 5, og højre side er 5. Det passer. | Regnet rigtigt: resultaterne er ens |
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| x/2 + x/3 = 10 | Udgangspunkt |
| 6 · (x/2 + x/3) = 6 · 10 | Gang begge sider med 6, fordi både 2 og 3 går op i 6 |
| 6 · x/2 + 6 · x/3 = 60 | Gang 6 ind på begge brøker |
| 3 · x + 2 · x = 60 | 6 : 2 = 3 og 6 : 3 = 2 |
| 5 · x = 60 | Regn sammen |
| 5 · x : 5 = 60 : 5 | Dividér hver side med 5 |
| x = 12 | Løsningen |
| Gør prøve: Venstre side: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10. Højre side: 10. Resultatet er 10 på hver side. | Løsningen er rigtig, når de to sider er lige store |
Øv det på papir: ligninger med brøker – 9. klasse (kan bruges i 8.)
4 ark med facit fra Tavletid. Gratis PDF, klar til print.
Hvordan gør man prøve på en ligning – har jeg regnet rigtigt?
Gør prøve ved at sætte løsningen ind i den oprindelige ligning og regne venstre og højre side ud hver for sig: bliver de lige store, har du regnet rigtigt. Gør prøven mod den oprindelige opgave og ikke mod en af mellemregningerne, så du også fanger fejl, der er kommet ind undervejs.
Er x = 4 en løsning til ligningen 3 · x + 4 = 19? Venstre side: 3 · 4 + 4 = 12 + 4 = 16. Højre side: 19. Da 16 ikke er lig med 19, er x = 4 ikke en løsning. Prøver du x = 5, bliver venstre side 3 · 5 + 4 = 15 + 4 = 19, og højre side er 19 – nu er de to sider lige store.
Hvilke fejl skal man passe på, når man skal løse ligninger?
- At gøre noget kun på den ene side. Alt, hvad du lægger til, trækker fra, ganger eller dividerer med, skal ske på begge sider af lighedstegnet.
- At glemme et led, når tallet ganges ind i en parentes. 3 · (x + 4) er 3 · x + 12 og ikke 3 · x + 4.
- At glemme, at minus foran en parentes skifter fortegn på alle led. 20 − (x + 3) er 20 − x − 3 og ikke 20 − x + 3.
- At dividere kun nogle af leddene. Dividerer du 3 · x + 6 = 15 med 3, skal begge led på venstre side divideres, så der står x + 2 = 5.
- At springe prøven over. Det er den eneste måde at opdage en fejl, før læreren gør det.
Hvordan løser man to ligninger med to ubekendte?
Isolér y i den ene af de to ligninger, sæt udtrykket ind i den anden, og find x (indsættelsesmetoden, også kaldet substitution). Undervisningsministeriet viser en opgave om en kasket og T-shirts (Matematiske formler og fagord, s. 25): «En kasket og tre T-shirts koster 90 kr. To kasketter og en T-shirt koster 50 kr.» Kalder man prisen på en kasket for x og prisen på en T-shirt for y, bliver det til to ligninger med to ubekendte (to variable): I: x + 3 · y = 90 og II: 2 · x + y = 50.
| Mellemregning | Hvad gør du? |
|---|---|
| y = 50 − 2 · x | Isolér y i II |
| x + 3 · (50 − 2 · x) = 90 | Sæt y ind i første ligning (I) |
| x + 150 − 6 · x = 90 | Gang 3 ind i parentesen |
| 150 − 5 · x = 90 | Regn sammen |
| 150 − 5 · x − 150 = 90 − 150 | Træk 150 fra på begge sider af lighedstegnet |
| −5 · x = −60 | Regn sammen |
| −5 · x : (−5) = −60 : (−5) | Dividér hver side med koefficienten −5 |
| x = 12 | En kasket koster 12 kr. |
| y = 50 − 2 · 12 = 26 | En T-shirt koster 26 kr. |
| Gør prøve: I: 12 + 3 · 26 = 12 + 78 = 90. II: 2 · 12 + 26 = 24 + 26 = 50. | Regnet rigtigt, når begge ligninger passer |
Ministeriet finder samme løsning grafisk: linjerne skærer hinanden i punktet (12, 26). Fælles Mål har «enkle ligningssystemer» som fase 3 af ligningsområdet efter 9. klassetrin. Læs mere hos Webmatematik, eller hent 4 ark om to ligninger med to ubekendte – 9. klasse, med facit.
Hvordan øver jeg ligninger, så metoden sidder?
Regn selv først, og tjek bagefter – det er sådan, metoden sætter sig fast, og du lærer at løse ligninger uden at gætte. Her er næste skridt, sorteret efter, hvad du har brug for:
- Ligningsløser med mellemregninger: skriv din egen opgave ind og sammenlign linje for linje.
- Opgaver med ligninger – med facit: 5 opgaver med facit og en oversigt over alle hæfter.
- Hent 4 ark om ligninger med x på begge sider – 8. klasse, med facit.
- Hent 4 ark om ligninger med parenteser – 8. klasse, med facit.
- Hent 4 ark om ligninger med brøker – 9. klasse, med facit.
Hvilke kilder bygger siden på?
- Børne- og Undervisningsministeriet: Matematiske formler og fagord, 2. udgave 2017 (regneregel s. 24, eksempel s. 25).
- Børne- og Undervisningsministeriet: Fælles Mål, matematik (ligninger efter 9. klassetrin, s. 8).
- Webmatematik (Matematikcenter): Løsning af ligninger og To ligninger med to ubekendte.
Sidst tjekket: 15. oktober 2026 (Fælles Mål og Matematiske formler og fagord). Alle eksempler er regnet igennem linje for linje og kontrolleret ved at sætte løsningen ind. Skrevet til Ligninger.dk.