Gang begge sider med nævneren, så brøken forsvinder: x/5 = 7 giver x = 7 · 5 = 35. Er der flere led, ganges hvert led med nævneren – også de led, der ikke er brøker. Prøven viser, at det passer: 35/5 = 7.
Hvordan løser man ligninger med brøker i 4 trin?
Gang alle led på begge sider med nævneren (ved flere forskellige nævnere med en fællesnævner), så der ikke står brøker mere; løs derefter ligningen som sædvanlig, og gør prøve i den oprindelige. Det må man, fordi ministeriets regneregel for ligninger også gælder for at gange: «Man må addere, subtrahere, multiplicere eller dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet (man må dog ikke dividere med 0).» (Matematiske formler og fagord, s. 24)
- Find nævnerne. Står der kun ét tal under brøkstregerne, er det tallet, du ganger med. Er nævnerne forskellige, finder du en fællesnævner, som alle nævnerne går op i.
- Gang hvert led på begge sider med nævneren – også de led, der ikke er brøker, og hele højre side. Forkort derefter brøkerne, så de forsvinder.
- Løs den nye ligning uden brøker: saml x-led og tal, og dividér med tallet foran x. Fremgangsmåden står trin for trin på siden Sådan løser du ligninger.
- Gør prøve i den oprindelige ligning – den med brøkerne – og regn venstre og højre side ud hver for sig.
Skrivemåden på siden er denne: x/5 læses «x delt med 5», 3x betyder 3 · x, og (x + 6)/3 med parentes betyder, at hele x + 6 deles med 3. Skriv (1/3) · x frem for 1/3x, så det er tydeligt, at x ganges med en tredjedel.
Hvilken brøktype har du – x/5, (3 · x)/4 eller to brøker med x?
Hvad du ganger med, afhænger af nævneren: står der ét tal i nævneren, er det tallet; står der flere forskellige nævnere, bruger du en fællesnævner. Tabellen viser fem typer og tallet, du ganger begge sider med.
| Type | Eksempel | Hvad ganger du med? | Løsning |
|---|---|---|---|
| x delt med et tal | x/5 = 7 | Gang med 5 | x = 35 |
| x i tælleren og et led uden brøk | (3 · x)/4 + 1 = 10 | Gang alle led med 4 | x = 12 |
| Tæller med flere led | (x − 3)/5 = 2 | Gang med 5 | x = 13 |
| To brøker med forskellige nævnere | x/4 + x/6 = 10 | Gang med 12 | x = 24 |
| Brøk og x på begge sider | x/2 + 4 = x − 2 | Gang med 2 | x = 12 |
Tæller med flere led, fx (x − 3)/5 = 2: gang begge sider med 5, så står der x − 3 = 10, og x = 13. Prøve: (13 − 3)/5 = 10/5 = 2. Skrives brøken med vandret brøkstreg – x − 3 over stregen og 5 under – står der ingen parentes, men den er der alligevel: hele x − 3 deles med 5. Derfor skal parentesen med, når brøken skrives på én linje som (x − 3)/5.
Hvordan finder man fællesnævneren, når nævnerne er 2, 3 og 4?
Fællesnævneren er 12, fordi 12 er det mindste tal, som 2, 3 og 4 alle går op i; 2 · 3 · 4 = 24 virker også, men giver større tal. Begge tal kan bruges – den mindste fællesnævner giver blot de letteste mellemregninger.
| Nævnere | Mindste fællesnævner | Produktet af nævnerne |
|---|---|---|
| 2, 3 | Mindste fællesnævner: 6 | Produkt: 2 · 3 = 6 |
| 3, 4 | Mindste fællesnævner: 12 | Produkt: 3 · 4 = 12 |
| 4, 6 | Mindste fællesnævner: 12 | Produkt: 4 · 6 = 24 |
| 5, 10 | Mindste fællesnævner: 10 | Produkt: 5 · 10 = 50 |
| 6, 8 | Mindste fællesnævner: 24 | Produkt: 6 · 8 = 48 |
| 2, 3, 4 | Mindste fællesnævner: 12 | Produkt: 2 · 3 · 4 = 24 |
Sådan bruges 12 i praksis, når nævnerne er 4 og 6:
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| x/4 + x/6 = 10 | Udgangspunkt |
| 12 · (x/4 + x/6) = 12 · 10 | Gang begge sider med 12 (4 og 6 går begge op i 12) |
| 3 · x + 2 · x = 120 | 12 : 4 = 3 og 12 : 6 = 2 |
| 5 · x = 120 | Regn sammen |
| 5 · x : 5 = 120 : 5 | Dividér begge sider med 5 |
| x = 24 | Løsningen |
| Tjek: Venstre side: 24/4 + 24/6 = 6 + 4 = 10. Højre side: 10. | Passer |
Hvordan regner man ligninger med brøker igennem? 4 eksempler fra let til svær
Fire ligninger er regnet igennem linje for linje med prøve: x i tæller, minus foran brøken, en brøk med x på begge sider og to brøker med fællesnævner. Hver tabel viser, hvad der sker på begge sider af lighedstegnet.
Hvordan løser man (3 · x)/4 + 1 = 10?
Gang alle led med 4 – også tallet 1 og hele højre side – så står der 3 · x + 4 = 40, og x = 12.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| (3 · x)/4 + 1 = 10 | Udgangspunkt |
| 4 · ((3 · x)/4) + 4 · 1 = 4 · 10 | Gang ALLE led med 4: også tallet 1 og hele højre side |
| 3 · x + 4 = 40 | Brøken er væk: 4 · (3 · x)/4 = 3 · x |
| 3 · x + 4 − 4 = 40 − 4 | Træk 4 fra på begge sider |
| 3 · x = 36 | Regn sammen |
| 3 · x : 3 = 36 : 3 | Dividér begge sider med 3 |
| x = 12 | Løsningen |
| Tjek: Venstre side: (3 · 12)/4 + 1 = 36/4 + 1 = 9 + 1 = 10. Højre side: 10. | Passer |
Hvordan løser man 5 − x/3 = 8, når der står minus foran brøken?
Gang alle led med 3, så står der 15 − x = 24, og løsningen er negativ: x = −9. Minusset foran brøken bliver stående: 3 · (x/3) bliver til x, så − x/3 bliver til − x.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 5 − x/3 = 8 | Udgangspunkt |
| 3 · 5 − 3 · (x/3) = 3 · 8 | Gang alle led med 3 |
| 15 − x = 24 | Brøken er væk; minus foran x bliver stående |
| 15 − x + x = 24 + x | Læg x til på begge sider, så x ikke står med minus |
| 15 = 24 + x | Regn sammen |
| 15 − 24 = 24 + x − 24 | Træk 24 fra på begge sider |
| −9 = x | Det vil sige x = −9 |
| Tjek: Venstre side: 5 − (−9)/3 = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Højre side: 8. | Passer |
Hvordan løser man x/2 + 4 = x − 2 fra FP9 maj 2022?
Gang alle led med 2, så står der x + 8 = 2 · x − 4, og så er det en ligning med x på begge sider: x = 12. Ligningen er opgave 7.3 i prøven uden hjælpemidler, FP9 maj 2022, hvor opgave 7 lyder «Løs ligningerne».
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| x/2 + 4 = x − 2 | Udgangspunkt |
| 2 · (x/2 + 4) = 2 · (x − 2) | Gang begge sider med 2 (hvert led) |
| x + 8 = 2 · x − 4 | Brøken er væk; nu står x på begge sider |
| x + 8 − x = 2 · x − 4 − x | Træk x fra på begge sider (det mindste x-led) |
| 8 = x − 4 | Regn sammen |
| 8 + 4 = x − 4 + 4 | Læg 4 til på begge sider |
| 12 = x | Det vil sige x = 12 |
| Tjek: Venstre side: 12/2 + 4 = 6 + 4 = 10. Højre side: 12 − 2 = 10. | Passer |
De to andre ligninger i opgave 7 er 6 · x = 42 (opgave 7.1, x = 7) og 3 · x + 7 = 5 · x − 1 (opgave 7.2, x = 4, med x på begge sider men uden brøk).
Hvordan løser man (x + 1)/2 + (x − 1)/3 = 7, når svaret er en brøk?
Gang med fællesnævneren 6, og sæt tællerne i parentes, så der står 3 · (x + 1) + 2 · (x − 1) = 42, og x = 41/5. Svaret er en brøk, og det er helt i orden.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| (x + 1)/2 + (x − 1)/3 = 7 | Udgangspunkt |
| 6 · ((x + 1)/2 + (x − 1)/3) = 6 · 7 | Gang begge sider med 6 (2 og 3 går op i 6) |
| 3 · (x + 1) + 2 · (x − 1) = 42 | 6 : 2 = 3 og 6 : 3 = 2; tællerne i parentes |
| 3 · x + 3 + 2 · x − 2 = 42 | Gang ind i parenteserne |
| 5 · x + 1 = 42 | Regn sammen |
| 5 · x + 1 − 1 = 42 − 1 | Træk 1 fra på begge sider |
| 5 · x = 41 | Regn sammen |
| 5 · x : 5 = 41 : 5 | Dividér begge sider med 5 |
| x = 41/5 | Løsningen (41/5 = 8,2) |
| Tjek: Venstre side: (41/5 + 1)/2 + (41/5 − 1)/3 = (46/5)/2 + (36/5)/3 = 23/5 + 12/5 = 35/5 = 7. Højre side: 7. | Passer |
Må svaret i ligninger med brøker være en brøk – og skal den forkortes?
Ja, x kan være en brøk, og i prøven uden hjælpemidler er det ikke et krav, at brøken forkortes: 4 · x = 6 giver x = 6/4, som er 3/2 eller 1,5. Vejledningen til folkeskolens 9.-klasseprøve i matematik skriver: «Et rigtigt svar kan angives på forskellige måder. Fx er det ikke et krav, at et svar i form af en brøk forkortes, eller at et svar med anvendelse af variable reduceres til korteste form.» (Vejledning til folkeskolens prøver i matematik, 9. klasse, okt. 2025, s. 8) Der kan dog i enkelte opgavetyper være krav om en bestemt svarform, fx «skriv som decimaltal» – og så skal svaret gives sådan.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 4 · x = 6 | Udgangspunkt |
| 4 · x : 4 = 6 : 4 | Dividér begge sider med 4 |
| x = 6/4 = 3/2 = 1,5 | Samme tal skrevet tre måder: 6/4, forkortet 3/2 og decimaltal 1,5 |
| Tjek: Venstre side: 4 · (6/4) = 24/4 = 6. Højre side: 6. | Passer |
Hvilke 3 fejl skal man passe på i ligninger med brøker?
Tre fejl er lette at lave: kun ét led ganges med nævneren, minusset foran brøkstregen kommer kun til at gælde det første led i tælleren, og kun det sidste led i tælleren bliver delt med nævneren. Hver fejl er vist med den forkerte linje, rettelsen og den prøve, der afslører fejlen.
- Fejl 1: Kun ét led ganges med nævneren. Opgave: (2 · x)/3 + 4 = 10.
Forkert: 2 · x + 4 = 30 → 2 · x = 26 → x = 13
Rigtigt: 3 · ((2 · x)/3) + 3 · 4 = 3 · 10 → 2 · x + 12 = 30 → 2 · x = 18 → x = 9
Prøve på x = 13: Venstre side: (2 · 13)/3 + 4 = 26/3 + 4 = 38/3. Højre side: 10. Ikke ens, så x = 13 er forkert.
Prøve på x = 9: Venstre side: (2 · 9)/3 + 4 = 18/3 + 4 = 6 + 4 = 10. Højre side: 10. - Fejl 2: Minusset foran brøkstregen gælder kun x – ikke hele tælleren. Opgave: 7 − (x + 2)/3 = 4.
Forkert: 21 − x + 2 = 12 → 23 − x = 12 → x = 11
Rigtigt: 21 − (x + 2) = 12 → 21 − x − 2 = 12 → 19 − x = 12 → x = 7
Prøve på x = 11: Venstre side: 7 − (11 + 2)/3 = 7 − 13/3 = 8/3. Højre side: 4. Ikke ens, så x = 11 er forkert.
Prøve på x = 7: Venstre side: 7 − (7 + 2)/3 = 7 − 9/3 = 7 − 3 = 4. Højre side: 4. - Fejl 3: (x + 4)/2 læses som x + 4/2, så kun 4 deles med 2. Opgave: (x + 4)/2 = 7.
Forkert: x + 4/2 = 7 → x + 2 = 7 → x = 5
Rigtigt: (x + 4)/2 · 2 = 7 · 2 → x + 4 = 14 → x = 10
Prøve på x = 5: Venstre side: (5 + 4)/2 = 9/2. Højre side: 7. Ikke ens, så x = 5 er forkert.
Prøve på x = 10: Venstre side: (10 + 4)/2 = 14/2 = 7. Højre side: 7.
x + 4/2 og (x + 4)/2 er ikke det samme: parentesen viser, at hele x + 4 deles med 2.
Hvordan øver jeg ligninger med brøker?
Med 4 ark om ligninger med brøker og facit bagerst: hent hæftet, regn på papir, og tjek bagefter. Opgaver med facit fra alle hæfterne ligger samlet på Opgaver med ligninger – med facit.
Øv det på papir: ligninger med brøker – 9. klasse (kan bruges i 8.)
4 ark med facit fra Tavletid. Gratis PDF, klar til print.
Hæftet på Tavletids side om ligninger · Flere opgaver med facit
Kan ligningsløseren løse ligninger med brøker?
Ja: ligningsløseren løser x/2 + 4 = x − 2 med alle mellemregninger – men ikke ligninger med x i nævneren. Skriv brøkstregen som skråstreg (/), fx (3 · x)/4 + 1 = 10, og sammenlign løserens linjer med dine egne.
Flere spørgsmål om ligninger med brøker
Skal man altid gange med nævneren som det første?
Nej: står der kun brøken og ét tal på samme side, kan du flytte tallet først og så gange; begge veje giver samme x. I x/6 − 1 = 3 giver det x = 24 på begge måder: lægger du 1 til, står der x/6 = 4, og x = 4 · 6 = 24; ganger du alle led med 6, står der x − 6 = 18, og x = 24.
Er x/4 det samme som x : 4?
Ja, brøkstregen betyder division, så x/4 er x delt med 4. Prøvesystemet bruger samme skrivemåde: vejledningen til 9.-klasseprøven skriver, at «4 : 2 kan skrives som 4/2» (Vejledning til folkeskolens prøver i matematik, 9. klasse, s. 7). Med tal: 12/4 = 12 : 4 = 3.
Hvordan reducerer man ligninger med brøker?
Man samler ens led på hver side af lighedstegnet; står brøkerne i vejen, fjernes de først ved at gange med nævneren. I x/4 + x/6 = 10 bliver 3 · x + 2 · x = 120 til 5 · x = 120, når x-leddene er samlet.
Hvilke kilder bygger siden på?
- Børne- og Undervisningsministeriet: Matematiske formler og fagord, 2. udgave 2017 (regneregel for ligninger, s. 24).
- Børne- og Undervisningsministeriet: Vejledning til folkeskolens prøver i matematik i 9. klasse, oktober 2025 (notation s. 7, svarform s. 8).
- Folkeskolens prøve i matematik, 9. klasse, prøven uden hjælpemidler, maj 2022, opgave 7 (ligningerne 6 · x = 42, 3 · x + 7 = 5 · x − 1 og x/2 + 4 = x − 2).
- Tavletid: Ligninger 9. klasse – brøker i ligninger (4 ark, facit bagerst). Klassetrinnet er Tavletids egen placering af hæftet.
Sidst tjekket: 25. oktober 2026 (Matematiske formler og fagord og prøvevejledningen). Alle eksempler er regnet igennem linje for linje og kontrolleret ved at sætte løsningen ind. Skrevet til Ligninger.dk.