To ligninger med to ubekendte (et ligningssystem) løses ved at finde det x og y, der passer i begge ligninger på samme tid. Løsningen er et talpar. Fx har x + y = 10 og 2 · x + y = 14 løsningen x = 4 og y = 6, fordi 4 + 6 = 10 og 2 · 4 + 6 = 14. Du kan finde parret grafisk, med substitution eller med lige store koefficienter.
Hvad er to ligninger med to ubekendte (et ligningssystem)?
To ligninger med to ubekendte er et ligningssystem: to ligninger, der hører sammen og har de samme to ubekendte, x og y. Løsningen er de to tal, der gør begge ligninger sande på én gang.
- To ligninger, som skrives under hinanden og kaldes I og II.
- To ubekendte, x og y. På siden skrives 3x som 3 · x (3 gange x).
- Løsningen er et talpar, fx x = 4 og y = 6: ét tal til x og ét tal til y.
- Prøven gøres i begge ligninger. Passer parret kun i den ene, er det ikke en løsning.
I ministeriets fagordsliste hedder ligningerne også I og II (Matematiske formler og fagord, s. 25).
Hvilken metode skal jeg bruge til to ligninger med to ubekendte?
Kig på tallene foran x og y: står en ubekendt alene, eller har den tallet 1 foran sig, så vælg substitution. Er tallet foran x (eller y) ens eller modsat i de to ligninger, så vælg lige store koefficienters metode. Alle metoder giver samme svar, så valget handler kun om, hvor få regnetrin du får.
| Du ser … | Vælg | Sådan ser det ud | Svagt punkt |
|---|---|---|---|
| at x eller y allerede står alene i den ene ligning, eller har tallet 1 foran sig | Vælg: substitutionsmetoden | Fx: y = 3 · x − 2 eller x + 2 · y = 11 | Pas på: parenteser og minus foran dem |
| samme tal (eller samme tal med modsat fortegn) foran x eller y i begge ligninger | Vælg: lige store koefficienters metode | Fx: 4 · x + … og 4 · x + …, eller +2 · y og −2 · y | Pas på: fortegn, når man trækker fra |
| små hele tal, og du vil se løsningen, eller opgaven beder om en graf | Vælg: grafisk løsning | Fx: to rette linjer | Pas på: brøksvar kan kun aflæses cirka |
| ingen af delene: tallene foran x og y er alle forskellige | Vælg: gang først, træk så fra (lige store koefficienters metode) | Fx: 3 · x + 4 · y og 2 · x + 5 · y | Pas på: flere regnetrin |
Her er det samme system, 2 · x − y = 1 og x + y = 5, løst med to af metoderne. Tredje gang løses det grafisk i afsnittet om grafisk løsning. Svaret er hver gang x = 2 og y = 3.
Hvordan løser man 2 · x − y = 1 og x + y = 5 med substitution?
Isolér y i II (y = 5 − x), sæt 5 − x ind for y i I, og løs ligningen med kun x: det giver x = 2 og y = 3. Substitution (også kaldet indsættelsesmetoden) betyder at sætte et udtryk ind i stedet for en ubekendt.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| y = 5 − x | Isolér y i II: træk x fra på begge sider |
| 2 · x − (5 − x) = 1 | Sæt 5 − x ind i I i stedet for y (parentes om hele udtrykket) |
| 2 · x − 5 + x = 1 | Minus foran parentesen skifter fortegn på begge led i parentesen |
| 3 · x − 5 = 1 | Regn sammen |
| 3 · x − 5 + 5 = 1 + 5 | Læg 5 til på begge sider |
| 3 · x = 6 | Regn sammen |
| 3 · x : 3 = 6 : 3 | Dividér begge sider med 3 |
| x = 2 | Løsningen for x |
| y = 5 − 2 = 3 | Sæt x = 2 ind i y = 5 − x |
| Tjek: I: 2 · 2 − 3 = 4 − 3 = 1 ; II: 2 + 3 = 5 | Begge ligninger passer |
Hvordan løser man 2 · x − y = 1 og x + y = 5 med lige store koefficienter?
Læg I og II sammen: −y og +y er modsatte, så y forsvinder, og tilbage står 3 · x = 6. Det giver x = 2 og y = 3.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| (2 · x − y) + (x + y) = 1 + 5 | Læg I og II sammen: −y og +y er modsatte, så y forsvinder |
| 3 · x = 6 | Regn sammen |
| 3 · x : 3 = 6 : 3 | Dividér begge sider med 3 |
| x = 2 | Løsningen for x |
| 2 + y = 5 | Sæt x = 2 ind i II |
| 2 + y − 2 = 5 − 2 | Træk 2 fra på begge sider |
| y = 3 | Løsningen for y |
| Tjek: I: 2 · 2 − 3 = 4 − 3 = 1 ; II: 2 + 3 = 5 | Begge ligninger passer |
Hvordan løser man to ligninger med to ubekendte i fire trin?
De fire trin er de samme, uanset hvilken metode du vælger:
- Skriv ligningerne under hinanden som I og II, med x og y i samme rækkefølge.
- Få én ubekendt til at forsvinde. Isolér x eller y i den ene ligning, og sæt udtrykket ind i den anden (substitution). Eller læg ligningerne sammen eller træk dem fra hinanden, når tallet foran x eller y er det samme eller kun har modsat fortegn (lige store koefficienter). Er tallene forskellige, så gang først den ene ligning, så de bliver ens, som i bolle-opgaven længere nede.
- Løs ligningen med én ubekendt, og sæt tallet ind i en af de oprindelige ligninger for at finde den anden.
- Gør prøve i begge ligninger, med x og y indsat.
Det er lovligt at lægge ligningerne sammen, fordi x + y og 5 er det samme tal, når x + y = 5. Man lægger altså samme tal til på begge sider af I, og det må man: «Man må addere, subtrahere, multiplicere eller dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet (man må dog ikke dividere med 0).» (Matematiske formler og fagord, s. 24) Se også reglen for at løse ligninger. Står der brøker i en af ligningerne, så gang hele ligningen med nævneren først, som siden om ligninger med brøker viser.
Hvordan løser man to ligninger med to ubekendte grafisk?
Tegn de to ligningers linjer i samme koordinatsystem, og aflæs x og y i det punkt, hvor linjerne skærer hinanden (skæringspunktet). Første tal i punktet er x, andet tal er y. Sådan løser ministeriets fagordsliste også sit eksempel med to ubekendte (Matematiske formler og fagord, s. 25).
- Isolér y i begge ligninger. 2 · x − y = 1 bliver til y = 2 · x − 1, og x + y = 5 bliver til y = 5 − x.
- Lav en værditabel med de samme x-værdier til begge linjer.
- Tegn linjerne i samme koordinatsystem.
- Aflæs skæringspunktet. Her er det (2, 3), så x = 2 og y = 3.
| x | y = 2 · x − 1 | y = 5 − x |
|---|---|---|
| x = 0 | y = 2 · 0 − 1 = −1 | y = 5 − 0 = 5 |
| x = 1 | y = 2 · 1 − 1 = 1 | y = 5 − 1 = 4 |
| x = 2 | y = 2 · 2 − 1 = 3 | y = 5 − 2 = 3 |
| x = 3 | y = 2 · 3 − 1 = 5 | y = 5 − 3 = 2 |
| x = 4 | y = 2 · 4 − 1 = 7 | y = 5 − 4 = 1 |
Linjerne skærer hinanden, hvor værditabellen giver samme y til begge linjer.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| I: 2 · x − y = 1 | Udgangspunkt |
| II: x + y = 5 | Udgangspunkt |
| y = 2 · x − 1 | Isolér y i I: læg y til og træk 1 fra på begge sider |
| y = 5 − x | Isolér y i II: træk x fra på begge sider |
| 3 = 2 · 2 − 1 | Punktet (2, 3) ligger på linjen y = 2 · x − 1 |
| 3 = 5 − 2 | Punktet (2, 3) ligger på linjen y = 5 − x |
| Tjek: I: 2 · 2 − 3 = 4 − 3 = 1 ; II: 2 + 3 = 5 | Begge ligninger passer |
Brøksvar kan du kun aflæse cirka på en graf, så brug en af de to algebraiske metoder, når svaret skal være præcist. I Fælles Mål er grafisk løsning et vidensmål (se afsnittet om Fælles Mål).
Hvordan opstiller man to ligninger ud fra en tekstopgave?
Kald de to ukendte størrelser x og y, skriv ned, hvad de står for, og skriv én ligning for hver oplysning i teksten. Så har du to ligninger med to ubekendte, som du kan løse med en af metoderne.
- Vælg x og y, og skriv, hvad de er: her er x prisen på en bolle og y prisen på et rundstykke.
- Skriv én ligning pr. oplysning (se tabellen herunder).
- Løs systemet, og skriv svaret som en sætning med enhed.
- Gør prøve i begge oplysninger fra teksten.
Opgaven: «3 boller og 2 rundstykker koster 29 kr. 2 boller og 4 rundstykker koster 34 kr.» (en opgave lavet til denne side).
| Oplysning i teksten | Ligning |
|---|---|
| 3 boller og 2 rundstykker koster 29 kr. | I: 3 · x + 2 · y = 29 |
| 2 boller og 4 rundstykker koster 34 kr. | II: 2 · x + 4 · y = 34 |
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| I: 3 · x + 2 · y = 29 | x er prisen på en bolle, y prisen på et rundstykke |
| II: 2 · x + 4 · y = 34 | Udgangspunkt |
| 2 · (3 · x + 2 · y) = 2 · 29 | Gang I med 2, så der står 4 · y i begge ligninger |
| 6 · x + 4 · y = 58 | Gang ind i parentesen |
| (6 · x + 4 · y) − (2 · x + 4 · y) = 58 − 34 | Træk II fra: 4 · y forsvinder |
| 4 · x = 24 | Regn sammen |
| 4 · x : 4 = 24 : 4 | Dividér begge sider med 4 |
| x = 6 | En bolle koster 6 kr. |
| 2 · 6 + 4 · y = 34 | Sæt x = 6 ind i II |
| 12 + 4 · y = 34 | Regn sammen |
| 4 · y = 22 | Træk 12 fra på begge sider |
| 4 · y : 4 = 22 : 4 | Dividér begge sider med 4 |
| y = 5,5 | Et rundstykke koster 5,50 kr. |
| Tjek: I: 3 · 6 + 2 · 5,5 = 18 + 11 = 29 ; II: 2 · 6 + 4 · 5,5 = 12 + 22 = 34 | Begge ligninger passer |
Kan to ligninger med to ubekendte have ingen eller uendeligt mange løsninger?
Ja. Er de to linjer parallelle, findes der ingen løsning, og er de to ligninger den samme linje, er der uendeligt mange løsninger. Du ser det i regningen, når både x og y forsvinder:
- 0 = 12 (eller et andet falsk udsagn): ingen løsning. Linjerne er parallelle og skærer aldrig hinanden.
- 0 = 0 (et sandt udsagn): uendeligt mange løsninger. De to ligninger er den samme linje, så hvert punkt på linjen er en løsning.
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 3 · (x + y) = 3 · 8 | Gang I med 3 |
| 3 · x + 3 · y = 24 | Gang ind i parentesen |
| (3 · x + 3 · y) − (3 · x + 3 · y) = 24 − 12 | Træk II fra den gangede I: både x og y forsvinder |
| 0 = 12 | Falsk udsagn: ingen x og y kan opfylde begge ligninger |
| Mellemregning | Hvad sker der på begge sider? |
|---|---|
| 2 · (x + y) = 2 · 8 | Gang I med 2 |
| 2 · x + 2 · y = 16 | Gang ind i parentesen: det er præcis II |
| (2 · x + 2 · y) − (2 · x + 2 · y) = 16 − 16 | Træk II fra den gangede I |
| 0 = 0 | Sandt udsagn for alle x og y: de to ligninger er den samme linje |
I Eksempel 3b passer fx (x, y) = (0, 8), (3, 5), (10, −2) og (1/2, 15/2), for alle fire par giver x + y = 8. Det samme sker med ligninger med én ubekendt, når x forsvinder, som trin-siden viser.
Hvilke fejl laver man oftest med to ligninger med to ubekendte?
Tre typiske fejl er at stoppe efter x, at gøre prøve i kun den ene ligning og at bytte om på x og y. Rækkerne herunder tager udgangspunkt i Eksempel 1, 2 · x − y = 1 og x + y = 5, hvor løsningen er x = 2 og y = 3.
| Forkert | Hvorfor er det forkert? | Rigtigt |
|---|---|---|
| «Svar: x = 2» (og så stopper man) | Hvorfor forkert: y mangler, for løsningen er et talpar | Rigtigt: x = 2 og y = 3 |
| «x = 1 og y = 1: I: 2 · 1 − 1 = 1, så det passer» | Hvorfor forkert: parret passer i I, men II giver 1 + 1 = 2, ikke 5. Punktet ligger på den ene linje, ikke på begge | Rigtigt: gør prøve i begge ligninger |
| «Skæringspunktet er (2, 3), så x = 3 og y = 2» | Hvorfor forkert: I: 2 · 3 − 2 = 4, ikke 1 | Rigtigt: første tal i (2, 3) er x, så x = 2 og y = 3 |
Hvad siger Fælles Mål om ligningssystemer?
Fælles Mål har ligningssystemer som fase 3 af området Ligninger efter 9. klassetrin: eleven skal kunne opstille og løse enkle ligningssystemer og have viden om grafisk løsning af dem. Målene står ordret i tabellen (Fælles Mål, matematik, s. 8).
| Efter 9. klassetrin, Tal og algebra, Ligninger, fase 3 | Ordlyd i Fælles Mål |
|---|---|
| Færdighedsmål | «Eleven kan opstille og løse enkle ligningssystemer.» |
| Vidensmål | «Eleven har viden om grafisk løsning af enkle ligningssystemer.» |
Målene er vejledende; kun kompetencemålene er bindende (fra 1. januar 2025). «9. klasse» i hæftets titel er Tavletids placering; Fælles Mål siger «efter 9. klassetrin».
Hvor kan jeg øve to ligninger med to ubekendte?
Hent hæftet Ligninger 9. klasse – to ligninger med to ubekendte: fire ark med indsættelse (substitution), lige store koefficienter, «gang først, træk så fra» og et blandet ark, med facit bagerst i hæftet. Flere opgaver med facit finder du på siden med opgaver om ligninger.
Øv det på papir: to ligninger med to ubekendte – 9. klasse
4 ark med facit fra Tavletid. Gratis PDF, klar til print.
Hvad spørger man ofte om to ligninger med to ubekendte?
Kan man løse én ligning med to ubekendte?
Nej, ikke til ét svar: én ligning med to ubekendte har uendeligt mange løsninger. x + y = 6 passer fx med x = 0 og y = 6, x = 1 og y = 5, x = 2 og y = 4, x = 3 og y = 3 og x = 4 og y = 2. Derfor skal du bruge to ligninger for at få ét talpar.
Skal jeg finde x eller y først?
Det er ligegyldigt, for svaret er det samme. Vælg den ubekendte, der er nemmest at få til at forsvinde; tabellen over metoder viser, hvad du skal kigge efter.
Hvordan ved jeg, at mit talpar er rigtigt?
Sæt x og y ind i begge ligninger og regn begge sider ud. Passer parret kun i den ene, er der regnet forkert. Trin-siden viser, hvordan man gør prøve.
Hvilke kilder bygger siden på?
- Undervisningsministeriet (2017): Matematiske formler og fagord, 2. udgave (regneregel s. 24, to ligninger med to ubekendte s. 25).
- Børne- og Undervisningsministeriet: Fælles Mål, matematik (ligninger efter 9. klassetrin, s. 8).
- Webmatematik (Matematikcenter): To ligninger med to ubekendte.
- Tavletid: Ligninger 9. klasse – to ligninger med to ubekendte.
Sidst tjekket: 25. oktober 2026 (Fælles Mål, Matematiske formler og fagord og hæftets titel). Alle eksempler er regnet igennem linje for linje og kontrolleret ved at sætte løsningen ind. Om Ligninger.dk.